レイリー商を用いた最小値・最大値問題の解法
レイリー商と呼ばれる下記の数式を最小化することを考えてみます．
ここで，Aは実対称行列としているので，実数固有値が存在します．直交行列 Q によって A をスペクトル分解したとすると，上記レイリー商の定義式は下記のように変形できます．
変形後のレイリー商の分子に注目してほしいんですが，最小固有値を λ1，最大固有値を λnとすると分子の値はそれぞれ二つの固有値によって下限・上限が決まることがわかります．
分子項の下限・上限がはっきりしたので，これをもとにレイリー商を計算すると，
この問題の見方を少し変えると，条件付き最小値・最大値問題が簡単にとけます．例えば，下記のような問題を考えます．
上記の例のように，条件付き最小値・最大値問題が簡単にとけるようになります．この考え方を使って最適化問題を解いていきます．
